Dvojitý integrál. Úkoly. Vlastnosti

Problémy, které vedou k pojmu "dvojitý integrál".

1. Umístěte rovinnou desku materiálu do roviny, kde je známa hustota. Musíme najít hmotnost této desky. Vzhledem k tomu, že tato deska má jasné rozměry, může být uzavřena v obdélníku. Hustota desky lze také chápat: v těch místech obdélníku, které nepatří k desce, předpokládáme, že hustota je nulová. Definujeme jednotné dělení na stejný počet částic. Takto daný tvar bude rozdělen na elementární obdélníky. Zvažte jeden z těchto obdélníků. Vybíráme libovolný bod tohoto obdélníku. Vzhledem k malé velikosti takového obdélníku předpokládáme, že hustota v každém bodě daného obdélníku je konstantní. Pak bude hmotnost takové obdélníkové částice definována jako násobení hustoty v tomto bodě oblastí obdélníku. Oblast, jak víte, je násobení délky obdélníku šířkou. A na rovině souřadnic - tato změna s určitým krokem. Pak bude hmotnost celé desky součtem hmotností takových obdélníků. Pokud budeme v takovém vztahu k hranici, pak můžeme získat přesný vztah.
2. Definujeme prostorové tělo, které je ohraničeno původem a nějakou funkcí. Je nutné najít objem tohoto těla. Stejně jako v předchozím případě rozdělíme oblast na obdélníky. Předpokládáme, že na bodech, které nepatří do domény, bude funkce 0. Zvažte jeden z pravoúhlých rozkladů. Přes boky tohoto obdélníku nakreslíme roviny kolmé na osy úsečky a osy souřadnic. Získáváme rovnoběžnost, která je ohraničena zespodu rovinou vzhledem k ose nanášeče a zhora funkce, která byla specifikována ve stavu problému. Vybíráme bod ve středu obdélníku. Vzhledem k malé velikosti tohoto obdélníku můžeme předpokládat, že funkce v tomto obdélníku má konstantní hodnotu a pak můžete vypočítat objem obdélníku. A objem čísla se bude rovnat součtem všech objemů takových obdélníků. Chcete-li získat přesnou hodnotu, musíte jít na hranici.

Jak je zřejmé z problémů, které nastaly, v každém příkladu dochází k závěru, že různé problémy vedou k úvahám o dvojích částkách stejného typu.

Vlastnosti dvojitého integrálu.

Pojďme problém. Předpokládejme, že v určité uzavřené oblasti je dána funkce dvou proměnných, pro které daná funkce je spojitá. Jelikož je oblast omezená, můžete ji umístit do libovolného obdélníku, který zcela obsahuje vlastnosti bodu daného prostoru. Dělíme obdélník na stejné části. Říkáme průměr průměru největší diagonály z výsledných obdélníků. Nyní zvolíme bod v hranicích jednoho takového obdélníku. Pokud v tomto okamžiku najdeme hodnotu pro přidání součtu, pak se taková součet nazývá integrální pro danou funkci v dané doméně. Najdeme hranici takového integrálního součtu za podmínek, kdy průměr průrazu následuje na 0 a počet obdélníků až nekonečno. Pokud existuje taková hranice a nezávisí na tom, jak je oblast rozdělena na obdélníky a na výběr bodu, pak se nazývá dvojitý integrál.

Geometrický obsah dvojitého integrálu: dvojitý integrál je číselně roven objemu těla, který byl popsán v problému 2.

Pokud znáte dvojitý integrál (definice), můžete nastavit následující vlastnosti:

1. Konstanta může být odebrána mimo integrální znak.
2. Integrál součtu (rozdíl) se rovná součtu (rozdílu) integrálů.
3. Funkce méně je funkce, jejíž dvojitý integrál je menší.
4. Modul lze zavést pod značkou dvojitého integrálu.