Geometrickou řadou. Příklad rozhodnutí

Vezměme si řádek.

7 28 112 448 1792 ...

Zcela jasně ukazuje, že hodnota kteréhokoli z jejích prvků více než předchozí přesně čtyřikrát. Takže, tato série je progrese.

geometrické řadě tzv nekonečná posloupnost čísel, je hlavním znakem je, že tento počet se získá z výše uvedené vynásobením nějakým určitým počtem. To je vyjádřeno následujícím vzorcem.

_{AZ 1 = a Z · q} , kde z - počet vybraný prvek.

V souladu s tím, z ∈ N.

Době, kdy se škola studoval geometrické progresi - 9. třídy. Příklady pomůže pochopit koncept:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6.února ...

na tomto vzorci základě průběh jmenovatele lze nalézt následujícím způsobem:

Ani q, nebo b _z nemůže být nula. Také každý z prvků řady čísel progrese nesmí být nula.

V souladu s tím, aby se zjistilo další číslo čísla, násobit posledně jmenovaných q.

Definovat tento postup, je nutné zadat první prvek ním a jmenovatele. Poté je možné najít některé z těchto členů a jejich výši.

druh

V závislosti na q a _1, tento postup je rozdělen do několika typů:

• Pokud je _1, a q je větší než jedna, pak sekvence - zvyšuje s každým následným prvku geometrickou řadou. Jejich příklady jsou podrobně popsány níže.

Příklad: ₁ = 3, q = 2 - větší než jedna, oba parametry.

Pak posloupnost čísel může být psán jak:

3 6 12 24 48 ...

• Pokud | q | menší než jedna, tj, že je ekvivalentní k násobení dělení, progrese s podobnými podmínkami - snižující se geometrickou. Jejich příklady jsou podrobně popsány níže.

Příklad: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ je větší než jedna, q - méně.

Pak posloupnost čísel lze zapsat takto:

2.června 2/3 ... - jakýkoli prvek více prvků následující jej, je 3 krát.

• Střídavý. Pokud q <0, příznaky počtu sekvencí střídajících se neustále bez ohledu na _1, a prvky jakéhokoliv zvýšení nebo snížení.

Příklad: ₁ = -3, q = 2 - jsou oba menší než nula.

Pak posloupnost čísel může být psán jak:

3, 6, -12, 24, ...

vzorec

Pro pohodlné používání, existuje mnoho geometrická posloupnost vzorců:

• Vzorce Z-tého období. To umožňuje výpočet prvku v určité řadě bez výpočtu předchozí čísla.

Příklad: q = 3, a = ₁ 4. potřebné pro výpočet čtvrtou progresi prvek.

Řešení: A = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Součet prvních prvků, jejichž počet je roven z. To umožňuje vypočítat součet všech prvků v sekvenci k a _z včetně.

≠ 0, tak, q není 1 - (Q 1) Vzhledem k tomu, (1- q) je ve jmenovateli, pak.

Poznámka: pokud q = 1, pak postup by představovaly řadu donekonečna opakovat číslo.

Množství exponenciálně příklady: ₁ = 2, q = -2. Vypočítat S _5.

Řešení: S ₅ = 22 - výpočet formule.

• Částka, pokud | q | <1, a když z tendenci růst do nekonečna.

Příklad: ₁ = _2, q = 0,5. Najděte součet.

Řešení: S _z = 2 x = 4

Budeme-li vypočítat součet několika členů manuálu, uvidíte, že to je skutečně spáchán na čtyři.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Některé vlastnosti:

• Charakteristickou vlastností. Pokud tuto podmínku To platí i pro jakýkoli z, pak daný číselnou řadu - geometrickou progresi:

_AZ ² = A _{z -1} · _{AZ + 1}

• To je také čtvercový jakékoliv množství je exponenciálně prostřednictvím přidáním čtverců dalších dvou čísel v daném řádku, v případě, že jsou ve stejné vzdálenosti od prvku.

² a _z = a _{z - t} ² ₊ a _z + _t ^2, kde t - je vzdálenost mezi těmito čísly.

• Tyto prvky se liší od doby q.
• Logaritmů prvků postupu, stejně tvoří postup, ale aritmetiku, to znamená, že každý z nich více než předchozí určitým číslem.

Příklady některých klasických problémů

Abychom lépe pochopili, co geometrickou řadou, s příklady rozhodování o 9. ročníku mohou pomoci.

• Podmínky: ₁ = 3, ₃ = 48. Find q.

Řešení: každý následující prvek ve více než v předchozím q Čas. Je třeba vyjádřit některé prvky prostřednictvím jiných přes jmenovatele.

V důsledku toho, ₃ = Q ² · ₁

Dosazením q = 4

• Podmínky: ₂ = 6, a = ₃ 12. Výpočet S _6.

Řešení: K tomu, stačí najít q, první prvek a náhradou do vzorce.

₃ = q · _2, v důsledku toho, q = 2

₂ = q · A _1, tak a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Najít čtvrtý prvek progrese.

Řešení: stačí vyjádřit čtvrtý prvek skrz první a přes jmenovatele.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Příklad použití:

• Banka klient přispěl částku 10.000 rublů, podle kterého každý rok bude klientovi jistiny se přidá 6% z nich ačkoli. Kolik peněz je na účtu po 4 letech?

Řešení: počáteční množství rovnající se 10 tisíc rublů. Takže, rok po investicích na účtu bude částka ve výši 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

V souladu s tím, je množství v úvahu i po uplynutí jednoho roku se vyjádřit takto:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

To znamená, že každý rok se částka zvýšila na 1,06 krát. Z tohoto důvodu, najít číslo účtu po 4 letech, stačí najít čtvrtou progrese prvek, která je dána první prvek rovnající se 10 tisíc, a jmenovatel se rovná 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Příklady problémů při výpočtu součtu:

V různých problémů pomocí geometrickou. Příklad nalezení součet může být nastaven následujícím způsobem:

₁ = 4, q = 2, výpočet S _5.

Řešení: všechny potřebné údaje pro výpočet jsou známé, jednoduše nahradit je do vzorce.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Vypočítejte součet prvních šest prvků.

řešení:

Geom. Průběh každého prvku příští větší než předchozí době q, to znamená, že pro výpočet částky, kterou je třeba znát prvek _A1 a jmenovatele q.

₂ · q = ₃

q = 3

Stejně tak je třeba najít _{A1, A2} a vědoucně q.

₁ · q = ₂

₁ = 2

A pak stačí nahradit známé údaje do vzorce množství.

S ₆ = 728.