Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných

Diferenciální je odvětví matematické analýzy, která zkoumá derivát, diferenciály a jejich použití při studiu funkcí.

Příběh

Diferenciální ukázal jako samostatná disciplína ve druhé polovině 17. století, a to díky práci Newtona a Leibniz, který formuloval základní ustanovení pro výpočet diferenciálů a všiml spojení mezi integrací a diferenciace. Vzhledem k tomu, disciplína se vyvinul spolu s výpočtem integrálů, což představuje základ matematické analýzy. Vzhled těchto kamenů otevřela novou moderní období v matematickém světě a způsobil vznik nových oborů ve vědě. Také rozšířila možnost uplatnění matematiky v přírodních vědách a inženýrství.

základní pojmy

Diferenciální počet je založen na základních pojmů matematiky. Jsou to: reálné číslo, kontinuita a omezení funkce. Po nějaké době, která byla přijata moderní vzhled, díky integrální a diferenciální počet.

Proces vytváření

Tvorba diferenciálního počtu ve formě aplikace a potom vědecké metody došlo před vznikem filozofické teorie, který byl vytvořen Nikolay Kuzansky. Jeho dílo je považován za evoluční vývoj od starověké vědy úsudku. Navzdory tomu, že filozof sám nebyl matematik, jeho přínos k rozvoji matematické vědy je nepopiratelný. CUSA, jeden z prvních ven protihodnoty aritmetiky jako nejpřesnější vědy, matematika uvedení času zpochybněna.

V dávných matematici univerzální kritériem byla jednotka, zatímco filozof navrhla jako nové opatření nekonečna vrátí přesný počet. V souvislosti s tímto obráceným reprezentaci přesnosti matematických věd. Vědecké poznatky, podle jeho názoru, je rozdělen na racionální a inteligentní. Druhý je přesnější, podle vědce, protože první dává pouze přibližné výsledky.

idea

Základní idea a koncept diferenciálního počtu spojené s touto funkcí v malém sousedství určitých bodech. K tomu je nutné vytvořit matematický aparát pro funkční studie, jejichž chování v malém sousedství bodů instalovaných v blízkosti chování lineární funkce nebo polynomu. Na základě této definice derivace a diferenciál bázi.

Vznik konceptu derivátu byl způsoben velkým počtem problémů přírodních věd a matematiky, které vedly ke stanovení mezních hodnot stejného typu.

Jedním z hlavních úkolů, které jsou uvedeny jako příklad, přičemž se vychází z nejstarších školní třídy, je pro určení rychlosti pohybu bodu v přímém směru a konstrukce tečny k této křivce. Diferenciální spojené s to, protože je možné se přiblížit funkce v malém sousedství bodu lineární funkce.

Ve srovnání s konceptem derivace funkce skutečné proměnné, definice diferenciálů potom přechází na funkci obecné povahy, zejména obraz euklidovském prostoru do druhého.

derivát

Ať bod se pohybuje ve směru osy y, na době, kdy jsme se x, která je měřena od začátku okamžik. Popisují takový pohyb je možné funkce y = f (x), která je spojena na každém bodě x časové souřadnici posuvný bod. Toto volání funkce v mechanice, aby přijaly zákon pohybu. Hlavní charakteristikou pohybu, zejména nerovnoměrné, je okamžitá rychlost. Je-li bod pohybuje podél osy y podle zákona mechaniky, náhodný časový bod získává souřadnic x f (x). V době, kdy bod x + Ah, kde Ah představuje přírůstek času, bude kordinaty f (x + AH). Takto vytvořený vzorec? Y = f (x + Ah) - f (x), která se nazývá funkce přírůstek. To je bod dráhy kterou prochází v průběhu doby od x do x + Ah.

V souvislosti s výskytem rychlosti v čase derivát se podává. Derivát jakékoliv funkce v pevném bodě nazývá mez (za předpokladu, že existuje). To může být odkazoval se na určité znaky:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Postup výpočtu derivát diferenciace hovoru.

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Tento způsob se používá při výpočtu funkce studii, několik proměnných. Pokud existují dvě proměnné X a Y, parciální derivace podle x v bodě A se nazývá derivace této funkce v x s pevným y.

Může být označeny následujícími symboly:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u /? x a ∂f (x, y) ‚/ ? x.

požadované dovednosti

Aby bylo možné úspěšně učit a být schopen řešit diffury potřebné dovednosti v oblasti integrace a diferenciace. Aby to bylo snazší pochopit diferenciální rovnice, je třeba chápat téma derivát a neurčitý integrál. Také není na škodu se naučit hledat derivaci implicitní funkce. To je způsobeno tím, že v procesu učení se často používají integrály a diferenciaci.

Druhy diferenciálních rovnic

Prakticky všechny řídící práce spojené s prvého řádu diferenciálních rovnic, existují 3 typy rovnic: homogenní, s oddělitelnými proměnných, lineární nehomogenní.

K dispozici jsou také další vzácné druhy rovnice s celkovými diferenciálů, Bernoulliho rovnice, a jiní.

Základy řešení

Za prvé, měli bychom si uvědomit, je algebraické rovnice na školní hřiště. Obsahují proměnné a čísla. Za účelem vyřešení konvenční rovnice by měly najít spoustu čísel, které splňují zadaná podmínka. Obvykle jsou tyto rovnice mají jeden kořen, a pro ověření by měla nahradit pouze tuto hodnotu na místo neznámé.

Diferenciální rovnice je podobný tomuto. Obecně platí, že rovnice prvního řádu obsahuje:

• Nezávislá proměnná.
• Derivát první funkce.
• Funkce nebo závislá proměnná.

V některých případech může být jeden neznámý, x nebo y, ale to není tak důležité, protože je nutné, aby první derivaci, bez derivace vyšších řádů k roztoku a diferenciálního počtu pravdivé.

Vyřešit diferenciální rovnice - to znamená, že najít množinu všech funkcí, které jsou vhodné vzhledem k tomu, výraz. Takové sady funkcí je často nazýván obecné řešení regulace.

integrální počet

Integrální je jedním z úseků matematické analýzy, která zkoumá koncepci integrálních, vlastnosti a metody jeho výpočtu.

Často výpočet integrálu dochází při výpočtu plochy křivkového tvaru,. Tím mezní plochu, na které může být předem stanovená plocha vepsané tvaru polygonu s postupným nárůstem v ruce, tak na straně dat provedené méně než jakékoliv dříve specifikované libovolné malé hodnoty.

Hlavní myšlenkou na výpočtu plochy jakéhokoliv geometrického tvaru je výpočet plochy obdélníku, pak je zřejmé, že její plocha je rovná součinu délky šířkou. Pokud jde o geometrii, pak všechny konstrukce jsou vyrobeny pomocí pravítka a kompas, a pak poměr délky k šířce je racionální hodnotu. Při výpočtu plochy pravoúhlého trojúhelníku může být stanoveno, že pokud dáte další trojúhelník se vytvoří obdélník. V oblasti paralelogramu se počítají podobným, ale poněkud složitější metody, uvnitř obdélníku a trojúhelníku. V oblasti mnohoúhelníku je zvažován trojúhelníky jsou v něm zahrnuty.

Při určování milost libovolný, tato metoda nehodí křivku. Kdybychom ji rozbít na jednotlivé čtverce, zůstane neobsazená místa. V tomto případě zkuste použít dvě vrstvy, s obdélníky nad a pod, v důsledku těch zahrnují graf funkce a nezahrnuje. Zde důležitý je způsob, jak prolomit tyto obdélníky. Také, pokud budeme mít přestávku více snížené, oblast horní a dolní části by měly konvergovat na určitou hodnotu.

Je třeba se vrátit do způsobu oddělování do obdélníků. Tam jsou dvě populární metody.

Riemann byl formován definici integrálu, vytvořený Leibniz a Newton, jako oblast podgrafu. V tomto případě jsme uvažovali postavu skládající se z určitého počtu svislých obdélníků získaných dělením intervalu. Při lámání pokles existuje limit, na které se sníží plocha takového obrázku, tento limit je nazýváno Riemann integrál funkce v určeném intervalu.

Druhá metoda je vytvořit Lebesgueův integrál, spočívající v tom, že v místě dělení určené oblasti na části integrandu a sestavení potom integrální součet hodnot získaných v těchto částech, v intervalech rozdělil v rozmezí hodnot, a potom se sčítá s odpovídajícími opatřeními inverzní obrazy těchto integrálů.

moderní pomůcky

Jednou z hlavních výhod pro studium diferenciálního a integrálního počtu Fikhtengol'ts napsal - „diferenciálního a integrálního počtu.“ Jeho učebnice je základním nástrojem pro studium matematické analýzy, který odolal mnoha vydáních a překlady do jiných jazyků. Vytvořený pro studenty a na dlouhou dobu používá v různých vzdělávacích institucí, jako jeden z hlavních výhod této studie. Dává teoretické informace a praktické dovednosti. Nejprve publikoval v roce 1948.

Funkce algoritmus výzkum

Prozkoumat způsoby funkce diferenciální počet, je třeba dodržovat již uveden algoritmus:

1. Najdeme doménu funkce.
2. Nalézt kořeny dané rovnice.
3. Vypočítejte extrémy. K tomu, počítáme derivát, a bodem, kde je rovna nule.
4. Dosadíme hodnoty získané v rovnici.

Variety diferenciálních rovnic

Řízení prvního řádu (jinak, diferenciální počet jedné proměnné) a jejich typy:

• S oddělitelné proměnné rovnice: f (y) dy = g (x) dx.
• Nejjednodušší rovnice nebo diferenciální funkce jedné proměnné, které mají vzorec: y ‚= f (x).
• Lineární prvního řádu nestejnoměrné ovládání: y ‚+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferenciální rovnice: y ‚+ P (x) y = Q (x) y a.
• Rovnice celkové rozdíly s: P (x, y) dx + Q (x, y) = 0 dy.

Diferenciální rovnice druhého řádu a jejich typů:

• Homogenní lineární druhého řádu diferenciální rovnice s konstantními ^{koeficienty: y n + py ‚+ Qy} = 0 p, q patří R.
• Nehomogenní lineární druhého řádu diferenciální rovnice s ^hodnotou konstantními ^{koeficienty: y n + py ‚+ Qy} = f (x).
• Homogenní lineární diferenciální ^{rovnice: y n + p (x),} y '+ q (x), y = 0, a nehomogenní druhého řádu ^{rovnice: y n + p (x),} y' + q (x) y = f (x).

Diferenciální rovnice vyšších řádů a jejich typy:

• Diferenciální rovnice umožňující snížení ^{pořadí: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Lineární rovnice vyššího řádu ^{_{homogenní: y (n) + f (}} n- _1), y ^(n-1) + ... + f _1, y ‚+ f ₀ y = 0, a ^{_{nehomogenní: y (n) + F (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f _1, y ‚+ f ₀ y = f (x).

Etapy řešení problému s diferenciální rovnice

S pomocí dálkového ovládání jsou řešeny nejen matematiku nebo fyzické problémy, ale také různé problémy biologie, ekonomie, sociologie a dalších. I přes širokou škálu témat, by se měl řídit jednu logickou posloupnost pro řešení těchto problémů:

1. Sestavení kontrolu. Jedním z nejtěžších etap, které vyžaduje maximální přesnost, protože jakákoliv chyba povede ke zcela špatným výsledkům. Je třeba vzít v úvahu všechny faktory, které ovlivňují proces a stanovit počáteční podmínky. Mělo by také být založena na faktech a logických závěrů.
2. Pro řešení rovnic. Tento proces je snadnější k prvnímu bodu, protože to vyžaduje pouze důsledné provádění matematických výpočtů.
3. Analýza a vyhodnocení výsledků. Odvozené řešení by měly být hodnoceny pro instalaci praktické a teoretické hodnoty výsledku.

Příkladem použití diferenciálních rovnic v medicíně

Pomocí dálkového ovládání v oblasti medicíny se nachází v konstrukci epidemiologického matematického modelu. Neměli bychom zapomínat, že tyto rovnice jsou také nalezené v biologii a chemii, které jsou blízko k medicíně, protože hraje důležitou roli ve studiu různých biologických populací a chemických procesů v lidském těle.

V tomto příkladu je epidemie šíření infekce mohou být léčeny v izolované komunity. Obyvatelé jsou rozděleny do tří typů:

• Infikované počet x (t), která se skládala z jedinců, infekční nosičů, z nichž každý je infekční (inkubační doba je krátká).
• Druhý typ zahrnuje citlivých jedinců y (t), mohou být infikovány při styku s infikovanými.
• Třetí typ zahrnuje žáruvzdorné jedinců z (t), které jsou odolné nebo ztracena v důsledku nemoci.

Počet jednotlivců neustále, vedení porodu, přirozené úmrtí a stěhování se neuvažuje. V jádru budou dvě hypotézy.

Procento onemocnění v určitém časovém bodě je rovno x (t), y (t) (na základě předpokladu, na teorii, že se počet případů, v poměru k počtu průsečíků mezi pacienty a reagujících členy, které jsou v první aproximaci je úměrná x (t), y (t)), v proto počet případů se zvyšuje, a počet citlivých snižuje rychlostí, která se vypočítá podle vzorce ax (t), y (t) (a> 0).

Počet nereagujících zvířat, která uhynula nebo získané imunity, zvyšuje rychlostí, která je úměrná počtu případů, bx (t), (b> 0).

Výsledkem je, že můžete nastavit soustavu rovnic se všemi třemi indikátory na základě jejích závěrů.

Použití Příklad ekonomika

Diferenciální se často používá v ekonomické analýze. Hlavním úkolem v ekonomické analýze je považován za studium hodnot ekonomiky, které jsou zaznamenány v podobě funkce. Používá se při řešení problémů, jako jsou změny v dani z příjmů zvyšuje bezprostředně poté startovného, změny výnosů Při změně hodnoty výrobku, v čem může být podíl nahrazeny vysloužilých zaměstnanců s novým vybavením. K vyřešení těchto problémů, je nutné vybudovat komunikační funkci příchozích proměnných, které jsou po studovaly diferenciálního počtu.

je často nutné najít nejoptimálnější výkon v ekonomické sféře: maximální produktivitu, nejvyšší příjem, nejmenší náklady a tak dále. Každé takové složky je funkcí jednoho nebo více argumentů. Například produkce lze považovat za funkci práce a kapitálu. V této souvislosti, nalezení vhodného hodnotu, může být snížena na nalezení maximální nebo minimální funkce jedné nebo více proměnných.

Takové problémy vytvořit třídu extrémních problémů v ekonomické oblasti, pro kterou potřebují diferenciálního počtu. Je-li požadováno ekonomické indikátor minimalizovat nebo maximalizovat jako funkce dalších parametrů, bude poměr přírůstek funkce maximální bod na argumenty, mají tendenci k nule, když přírůstek argumentu blíží nule. V opačném případě, kdy takový přístup vede k určité kladnou nebo zápornou hodnotu, je určený bod, není vhodný, protože zvýšením nebo snížením argument může být změněn v závislosti hodnotu v požadovaném směru. V diferenciální terminologii počtu, znamenalo by to, že požadované podmínky pro maximální funkce je nulová hodnota jeho derivátu.

Ekonomika není neobvyklé problém najít extrém funkce více proměnných, protože ekonomické ukazatele se skládá z mnoha faktorů. Takové problémy jsou dobře známy v teorii funkcí více proměnných, o způsobu výpočtu diferenciál. Tyto problémy zahrnují nejen optimalizovány a minimalizuje funkci, ale také omezení. Tyto otázky se týkají matematického programování a jsou řešeny s pomocí speciálně vyvinuté metody jsou založeny na tomto vědním oboru.

Mezi metody diferenciálního počtu používaných v ekonomice důležitou část je konečný test. V ekonomické sféře, termín se odkazuje na sadu metod výzkumu proměnlivé výkonnosti a výsledků, pokud změníte hlasitost o zřízení, spotřeby, na základě analýzy jejich mezních hodnot. Omezení indikace považován za derivát nebo parciální derivace s několika proměnných.

Diferenciální počet funkcí více proměnných - důležitým tématem matematické analýzy. Pro detailní studii, můžete použít celou řadu učebních pomůcek pro vysokých škol. Jedním z nejznámějších vytvořených Fikhtengol'ts - „diferenciálního a integrálního počtu.“ Kolik jména pro řešení diferenciálních rovnic značný význam mít schopnosti pracovat s integrály. Když tam je diferenciální počet funkcí jedné proměnné, rozhodnutí se stává snadnější. I když je třeba poznamenat, že se řídí stejnými základními pravidly. V praxi vyšetřovat funkci diferenciálního počtu, stačí následovat již existující algoritmus, který je uveden na střední škole, a jen o něco složitější se zavedením nových proměnných.