Soustavy lineárních rovnic. Homogenní systém lineárních rovnic

Ve škole, každý z nás studovali rovnice a samozřejmě, na soustavu rovnic. Ale ne mnoho lidí ví, že existuje několik způsobů, jak je řešit. Dnes se dočkáme přesně všechny metody pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic, které se skládají z více než dvou rovnic.

příběh

Dnes víme, že umění řešení rovnic a jejich systémů vznikl ve starověkém Babylonu a Egypta. Avšak rovnost ve své známé podobě se objevily na nás po vzniku rovnítko „=“, který byl představen v roce 1556 anglický matematik záznamu. Mimochodem, tento znak byl vybrán z důvodu: to znamená, že dvě paralelní rovné segmenty. Ve skutečnosti nejlepším příkladem rovnosti nepřijde.

Zakladatel moderní nápisy a symboly nepoznané míře, francouzský matematik Fransua Viet. Nicméně, jeho označení je významně odlišné od dnešního dne. Například čtverec neznámého čísla on označen písmenem Q (lat „quadratus“.) A krychle - (. Lat „Cubus“), písmeno C. Tyto symboly se zdát nepříjemné, ale pak to bylo nejvíce intuitivní způsob, jak napsat soustavy lineárních rovnic.

Nevýhodou v převládajících metod řešení bylo to, že matematici v úvahu pouze pozitivní kořeny. Možná je to způsobeno tím, že záporné hodnoty nemají žádnou praktickou aplikaci. Tak či onak, ale první, které mají být považovány za negativní kořeny začal po italských matematiky Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Raphael Bombelli v 16. století. Moderní vzhled, hlavní způsob řešení kvadratické rovnice (přes diskriminační) byl založen teprve v 17. století přes práce Descartes a Newton.

Ve středu švýcarský matematik 18. století Gabriel Cramer našli nový způsob, jak řešení soustav lineárních rovnic jednodušší. Tato metoda byla později pojmenovaná po něm, a do dnešního dne jsme ji používat. Ale o způsobu Kramera mluvit o něco později, ale teď budeme diskutovat o lineárních rovnic a jejich řešení odděleně od systému.

lineárních rovnic

Lineární rovnice - nejjednodušší rovnice s proměnnou (y). Patří do algebraické. Lineární rovnice psáno v obecné formě takto: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. Předložení tohoto formuláře budeme potřebovat při přípravě systémů a matic dál.

Systém lineárních rovnic

Definice tohoto termínu je: soubor rovnic, které mají společné neznámých a obecné řešení. Typicky, ve škole všechno vyřešil systém se dvěma nebo dokonce třemi rovnicemi. Ale existují systémy se čtyřmi nebo více složek. Podívejme se nejprve, jak je zapsat tak, že později to bylo vhodné řešit. Za prvé, systém lineárních rovnic bude vypadat lépe, pokud jsou všechny proměnné jsou zapsány jako x s odpovídajícím indexem: 1,2,3 a tak dále. Za druhé by měl vést všechny rovnice do kanonické formy: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

Po všech těchto kroků, můžeme začít říct, jak najít řešení soustav lineárních rovnic. Moc na to přijde vhod matrici.

matrice

Matrix - tabulka, která se skládá z řádků a sloupců, a jeho prvky jsou v jejich průsečíku. To může být buď konkrétní hodnotu nebo proměnnou. Ve většině případů se pro označení prvků, které jsou uspořádány pod indexů (např ₁₁ nebo ₂₃ i). První index označuje číslo řádku, a druhá - sloupec. Výše uvedená matice jak je uvedeno výše a jakékoli jiné matematické prvku může provádět různé operace. Tak, můžete:

1) Odečíst a přidejte stejnou velikost tabulky.

2) se vynásobí matice na libovolném počtu nebo vektoru.

3) Transpozice: transformační matice čáry ve sloupcích, a sloupce - v řadě.

4) se vynásobí matice, je-li počet řádků se rovná jedné z nich jiný počet sloupců.

Diskutovat podrobně všechny tyto techniky, protože jsou užitečné pro nás v budoucnu. Odečítání a sčítání matic je velmi jednoduché. Vzhledem k tomu budeme mít stejnou velikost matice, každý prvek z jedné tabulky je příbuzný ke každému jinému prvku. Tak jsme přidali (odečíst) dva z těchto prvků (to je důležité, aby stáli na stejném místě ve svých matricích). Když se násobí počtem matice nebo vektoru jednoduše násobit každý prvek matice tím, že počet (nebo vektor). Provedení - velmi zajímavý proces. Velmi zajímavý někdy ho vidět v reálném životě, například při změně orientace tabletu nebo telefonu. Ikony na ploše je matice, a se změnou polohy, to je provedení a se rozšíří, avšak sníží na výšku.

Pojďme prozkoumat více o procesu, jako je násobení matic. I když nám řekl, a není užitečné, ale být vědomi toho, že je stále užitečné. Násobit dvě matice může být pouze za předpokladu, že počet sloupců v jedné tabulce je shodný s počtem dalších řad. Nyní se jeden řádek matice prvky a další prvky odpovídajícím sloupci. Vynásobí je k sobě a potom součet (tj., Například produkt prvků ₁₁ a ₁₂ a na ₁₂ b a ₂₂ b se rovná: a * b _{11 12} + ₁₂ * b a _22). Proto jediný položka tabulky, a metoda podobná, se dále naplní.

Nyní můžeme začít uvažovat o tom, jak řešit soustavy lineárních rovnic.

Gauss

Toto téma se začaly probíhat ve škole. Velmi dobře víme, pojem „systém dvou lineárních rovnic“ a vědět, jak je vyřešit. Ale co v případě, že počet rovnic je větší než dva? To nám pomůže metoda Gauss.

Samozřejmě, že tento způsob je vhodné použít, pokud uděláte matice systému. Ale nelze jej převést a rozhodovat o jeho vlastní.

Tak, jak to vyřešit pomocí systému lineárních rovnic Gauss? Mimochodem, i když tímto způsobem a pojmenoval podle něj, ale zjistil, že v dávných dobách. Gauss má operace prováděné pomocí rovnic, nakonec vést k celku na Echelon formě. To znamená, že je třeba, aby top-down (pokud je správně umístit) od prvního do posledního rovnice ubýval jeden neznámý. Jinými slovy, musíme se ujistit, že máme, řekněme, tři rovnice: První z nich - tři neznámé ve druhém - dva v třetí - jeden. Pak se z poslední rovnice, najdeme první neznámé, nahradit její hodnotu ve druhé nebo první rovnice a další najít zbývající dvě proměnné.

Cramerovo pravidlo

Pro rozvoj této techniky je důležité osvojit si dovednosti sčítání, odčítání matic, jakož i potřebu být schopni najít determinanty. Proto, pokud jste nepříjemné dělat to všechno, nebo nevědí, jak je nutné se naučit a být školeni.

Co je podstatou této metody, a jak to udělat tak, aby se systém lineárních rovnic Cramer? Je to velmi jednoduché. Musíme vybudovat matice čísel (téměř vždy) koeficientů soustavy lineárních rovnic. K tomu, jednoduše vzít počtu neznáma, a my zajistíme tabulky v pořadí, v jakém jsou zaznamenány v systému. Jestliže před číslo je znak „-“, pak píšeme negativní koeficient. Takže jsme udělali první matici koeficientů neznámých, ne včetně čísla po rovnítko (samozřejmě, že rovnice má být snížena na kanonický tvar, kdy právo je jen číslo a levá - všechny neznámé s koeficienty). Pak je potřeba provést několik matice - jeden pro každou proměnnou. Pro tento účel se v první matrici je nahrazen jeden sloupec čísel každý sloupec s koeficienty po rovnítko. Tak získáme několik matice a pak zjišťují, že jejich determinanty.

Poté, co jsme zjistili, že kvalifikace, je to malé. Máme počáteční matrice, a existuje několik odvozené matice, které odpovídají různých proměnných. Chcete-li získat systémové řešení, dělíme determinant výsledné tabulky na primární determinant stolu. Výsledné číslo je hodnota jedné proměnné. Stejně tak najdeme všechny neznámých.

jiné metody

Existuje několik metod, aby se získal roztok soustav lineárních rovnic. Například takzvaná metoda Gauss-Jordán, který se používá pro nalezení řešení systému kvadratické rovnice, a rovněž se týká použití matic. K dispozici je také způsob Jacobi pro řešení soustavy lineárních rovnic. Ten se snadno přizpůsobí všem počítačům a používá se při výpočtu.

složitější případy

Komplexnost obvykle dochází v případě, že počet rovnic je menší než počet proměnných. Pak můžeme jistě říci, že, nebo systém je v rozporu (tedy nemá kořeny), nebo počet svých rozhodnutích tendenci růst do nekonečna. Máme-li druhý případ - je třeba psát obecné řešení soustavy lineárních rovnic. Bude zahrnovat alespoň jednu proměnnou.

závěr

Zde se dostáváme až do konce. Abychom to shrnuli: musíme pochopit, co je systém matrix, naučila najít obecné řešení soustavy lineárních rovnic. Navíc jsme zvažovali další možnosti. Zjistili jsme, jak řešit soustavy lineárních rovnic: Gaussova eliminace a Cramerovo pravidlo. Mluvili jsme o těžkých případech i jiné způsoby, jak najít řešení.

Ve skutečnosti je tento problém je mnohem rozsáhlejší, a chcete-li lépe pochopit, doporučujeme vám přečíst více specializované literatury.