Tvoření, Sekundárního vzdělávání a školy
Lineární a homogenní diferenciální rovnice prvního řádu. příklady řešení
Myslím, že bychom měli začít s historií slavného matematické nástroje jako diferenciálních rovnic. Jako všechny diferenciálního a integrálního počtu, tyto rovnice byly vynalezeny Newton v pozdní 17. století. On věřil, že to byl jeho objev tak důležité, že ani zašifrovaná zpráva, která dnes se dá přeložit takto: „Všechny přírodní zákony popsané diferenciálními rovnicemi“ To se může zdát přehnané, ale je to pravda. Každý zákon fyziky, chemie, biologie, lze popsat pomocí následujících rovnic.
Obrovský přínos k rozvoji a vytvoření teorie diferenciálních rovnic mít matematiku Euler a Lagrange. Již v 18. století objevili a vyvinuli to, co je nyní studuje na vysokých univerzitních kurzů.
Nový milník ve studiu diferenciálních rovnic začaly díky Anri Puankare. On vytvořil „kvalitativní teorii diferenciálních rovnic“, což v kombinaci s teorií funkcí komplexní proměnné významně přispěl k založení topologie - vědy o vesmíru a jeho vlastnosti.
Co jsou to diferenciální rovnice?
Mnoho lidí se bojí výrazu „diferenciální rovnice“. Nicméně, v tomto článku se budeme podrobně stanoví podstatu této velmi užitečné matematické nástroje, který je ve skutečnosti není tak složité, jak se zdá, z názvu. Aby bylo možné začít mluvit o prvního řádu diferenciální rovnice, musíte se nejprve seznámit se základními pojmy, které jsou neodmyslitelně spojeny s touto definicí. A začneme s diferenciálem.
diferenciál
Mnoho lidí ví, tento termín od střední školy. Nicméně, stále bydlí na to v detailu. Představte si, že graf funkce. Můžeme zvýšit do té míry, že by některý z jeho segmentu stává přímku. Bude to trvat dva body, které jsou nekonečně blízko u sebe. Rozdíl mezi jejich souřadnic (X nebo Y), je minimální. A to je voláno rozdíl a značky označují dy (diferenciální y) a dx (diferenciál x). Je důležité si uvědomit, že rozdíl není konečná hodnota, a to je význam a hlavní funkce.
A teď je třeba vzít v úvahu následující prvky, které budeme muset vysvětlit pojem diferenciální rovnice. Je - derivát.
derivát
Každý z nás musel slyšet ve škole a tento pojem. Říká se, že derivát - je rychlost růstu nebo poklesu funkce. Nicméně, tato definice stává matoucí. Pokusme se vysvětlit odvozené podmínky diferenciálů. Vraťme se k nekonečně intervalu funkce se dvěma body, které jsou umístěny v minimální vzdálenosti od sebe. Ale i za této funkce na dálku je čas pro změnu na nějakou hodnotu. A popsat tuto změnu a přijít s derivátu, který by jinak byl napsán jako poměr diferenciálů: f (x) ‚= df / dx.
Nyní je třeba vzít v úvahu základní vlastnosti derivátu. K dispozici jsou pouze tři:
- Derivát součet nebo rozdíl může být reprezentován jako součet nebo rozdíl derivátů: (a + b) '= a' + b 'a (ab)' = a'-b‘.
- Druhá vlastnost je spojena s násobením. Odvozená díla - je součet prací jedné funkce na jiný derivát: (a * b) '= a' * b + a * b‘.
- Derivát rozdílu může být psáno jako následující rovnice: (A / B) '= (a' * ba * b ‚) / b 2.
Všechny tyto funkce přijde vhod při hledání řešení diferenciálních rovnic prvního řádu.
Také jsou zde parciální derivace. Předpokládejme, že máme funkci z, která závisí na proměnných x a y. Pro výpočet parciální derivace této funkce, například, v X, je třeba, aby se proměnné y pro konstantní a snadno rozlišit.
integrální
Další důležitý koncept - integrální. Ve skutečnosti je to opak derivátu. Integrály je několik druhů, ale nejjednodušší řešení diferenciálních rovnic, musíme ty triviální neurčitých integrálů.
Takže, co je integrální? Řekněme, že máme nějaký vztah f x. Bereme z ní integrální a získat funkce f (x) (to je často označována jako primitivní), což je derivát původní funkci. Proto F (x) ‚= f (x). To také znamená, že integrál derivátu je rovna původní funkci.
V řešení diferenciálních rovnic je velmi důležité pochopit význam a funkci integrál, protože mají velmi často, aby je najít řešení.
Rovnice se liší v závislosti na jejich povaze. V další části se podíváme na typy prvního řádu diferenciálních rovnic, a pak se dozvědět, jak je řešit.
Třídy diferenciálních rovnic
„Diffury“ dělený pořadí derivátů zapojených do nich. Existuje tedy první, druhé, třetí nebo další příkaz. Oni mohou také být rozděleny do několika tříd: obyčejné a parciální.
V tomto článku se budeme uvažovat o obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Příklady a jejich řešení budeme diskutovat v následujících kapitolách. Domníváme se, že pouze TAC, protože to je nejběžnější typy rovnic. Běžná rozdělena do poddruhů: s oddělitelnými proměnnými, homogenní a heterogenní. Dále budete učit, jak se liší od sebe navzájem, a naučit se je řešit.
Navíc, tyto rovnice mohou být kombinovány tak, že poté, co získáme soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu. Takové systémy, jsme se také podívat na a naučit se řešit.
Proto uvažujeme pouze první objednávku? Vzhledem k tomu, že je nutné začít s jednoduchým a popsat všechny spojené s diferenciálními rovnicemi, v jednom článku je nemožné.
Rovnice s oddělitelnými proměnnými
To je snad nejvíce jednoduché diferenciální rovnice prvního řádu. Jedná se o příklady, které může být zapsán jako: y ‚= f (x) * f (y). Pro řešení této rovnice potřebujeme zastoupení vzorec derivátu jako poměr diferenciálů: y ‚= dy / dx. S tím získáme rovnice dy / dx = f (x) * f (r). Nyní se můžeme obrátit na způsobu řešení standardních příkladů: oddělit proměnných po částech, tedy rychle dopředu všechny proměnné y v té části, kde je dy a také proměnnou x ... Získáme rovnici ve tvaru: dy / f (y) = f (x) dx, které je dosaženo tím, že integrály obou částí. Nezapomeňte na neustálý že chcete dát po integraci.
Řešení jakékoliv „diffura“ - je funkce x Y (v našem případě), nebo v případě, že je číselný stav, odpověď je číslo. Pojďme prozkoumat konkrétní příklad celý průběh rozhodnutí:
y ‚= 2y * sin (x)
Převést proměnné v různých směrech:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Nyní se integrály. Všechny z nich lze nalézt ve zvláštní tabulce integrálů. A dostaneme:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
V případě potřeby můžeme vyjádřit „y“ jako funkce „X“. Nyní můžeme říci, že naše diferenciální rovnice se řeší, pokud není uvedeno podmínku. Mohou být specifikovány podmínky, například, y (n / 2) = e. Pak budeme jednoduše nahradit hodnoty těchto proměnných v tomto rozhodnutí a najít hodnotu konstanty. V našem příkladu je 1.
Homogenní prvního řádu diferenciální rovnice
Nyní do složitějších dílů. Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu může být napsán v obecné formě jako: y ‚= z (x, y). Je třeba poznamenat, že správná funkce dvou proměnných je jednotná, a nemůže být rozdělen na dvě části v závislosti na: z x a z y. Zkontrolujte, zda rovnice je homogenní, nebo ne, je velmi jednoduchá: provést substituce x = k * X a Y = k * y. Nyní řežeme všechny k. Pokud jsou vynechány tato písmena, pak rovnice homogenní a může bezpečně pokračovat k jeho řešení. Při pohledu do budoucna, říkáme: princip řešení těchto příkladů je také velmi jednoduché.
Je třeba, aby střídání: y = t (x) * X, kde t - funkce, která závisí také na x. Pak můžeme vyjádřit derivát: y '= t' (x) * x + t. Dosazením vše do našeho původní rovnice a jeho zjednodušení, máme příklad separace proměnných t jako x. Řeší to a získat závislost t (x). Když jsme se dostali, jednoduše nahradit náš předchozí substituce y = t (x) * x. Pak získáme závislost y na x.
Aby to bylo jasnější, budeme rozumět příklad: x * y ‚= yx * e y / x.
Při kontrole nahrazení všech klesá. Takže rovnice je opravdu homogenní. Nyní provést další substituci, jsme se hovoří o: y = t (x) * x a y '= t' (x) * x + t (x). Po zjednodušení následující rovnice: t ‚(x) * x = -e t. Rozhodli jsme se získat vzorek se separovanými proměnnými a dostaneme: e -t = ln (C * x). Jen potřebujeme nahradit t podle y / x (protože pokud y = t * x, pak t = y / x), a dostaneme odpověď: e -y / x = ln ( x * C).
Lineární diferenciální rovnice prvního řádu
Je čas, aby zvážila další široké téma. Podíváme se heterogenní prvního řádu diferenciální rovnice. Jak se liší od předchozích dvou? Přiznejme si to. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu v obecné formě rovnice může být zapsán takto: y ‚+ g (x) * y = z (x). Je třeba upřesnit, že z (x) a g (x), může být konstantní hodnoty.
Zde je příklad: y ‚- y * x = x 2.
Existují dva způsoby, jak řešit a objednáváme Zkoumejme oba. První - metoda variace libovolných konstant.
Pro vyřešení rovnice tímto způsobem, je třeba, aby se rovnaly první pravá strana na nulu, a vyřešit výsledné rovnici, která po převodu dílů se stává:
y ‚= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = XDX;
ln | y | = x 2/2 + C;
y = e x2 / 2 * C y = C 1 * E x2 / 2.
Nyní je třeba nahradit konstanta C1 na funkci D (x), které najdete.
y = v * e x2 / 2.
Čerpat náhradní derivát:
y '= v' * e x2 / 2-X * v * e x2 / 2.
A náhradou tyto výrazy do původní rovnice:
v ‚* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.
Můžete vidět, že na levé straně obou termínů jsou sníženy. Jestliže se například, že se nestalo, pak jste udělali něco špatného. Budeme i nadále:
v ‚* e x2 / 2 = x 2.
Nyní řešíme obvyklý rovnici, ve které chcete oddělit proměnných:
dv / dx = x 2 / e x2 / 2;
dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.
Chcete-li odstranit integrál, musíme použít integraci per partes zde. Nicméně, toto není téma tohoto článku. Pokud máte zájem, můžete se naučit sami provádět takové akce. Není to těžké, a dostatek dovedností a péče není časově náročné.
S odkazem na druhou metodu řešení nehomogenní rovnice: Bernoulliho metoda. Jaký přístup je rychlejší a jednodušší - je to jen na vás.
Takže, při řešení této metody, musíme provést substituci: y = k * n. Tady, k a n - některé funkce v závislosti na x. Potom se derivát bude vypadat: y '= k' * n + k * n‘. Náhradní dvě substituce v rovnici:
k '* n + k * n ' + x * k * n = x 2.
Skupina up:
k '* n + k * ( n' + x * n) = x 2.
Nyní je třeba, aby se rovnaly nule, která je v závorkách. Nyní, když se spojí dva výsledné rovnice, získáme systém prvního řádu diferenciálních rovnic, které mají být řešeny:
n ‚+ x * n = 0;
K ‚* n = x 2.
První rovnost rozhodnout, jak obvyklé rovnice. Chcete-li to provést, je nutné oddělit proměnných:
dn / dx = x * v;
dn / n = XDX.
Bereme integrální a získáme: ln (n) = x 2/2. Pak, když vyjádříme n:
n = e x2 / 2.
Nyní nahradit výsledné rovnici do druhé rovnice:
K ‚* e x2 / 2 = x 2.
A transformace, získáme stejné rovnice, jako v prvním způsobu:
dk = x 2 / e x2 / 2.
Také nebude projednávat další kroky. Říká se, že na první prvního řádu diferenciálních rovnic řešení způsobuje značné potíže. Nicméně hlubší ponoření do tématu začíná být lepší a lepší.
Kde jsou diferenciální rovnice?
Velmi aktivní diferenciální rovnice používané ve fyzice, jako téměř všechny základní zákony jsou psané v diferenciálním tvaru, a ty vzorce, které vidíme - řešení těchto rovnic. V chemii, jsou používány ze stejného důvodu: základní zákony jsou odvozeny přes ně. V biologii, diferenciální rovnice se používají pro modelování chování systémů, jako jsou dravec - kořist. Mohou být také použity k vytvoření modelů reprodukce, například kolonií mikroorganismů.
Jako diferenciální rovnice pomoci v životě?
Odpověď na tuto otázku je jednoduchá: nic. Pokud nejste vědec nebo inženýr, je nepravděpodobné, že budou užitečné. Nicméně, není na škodu vědět, co diferenciální rovnice a je řešena pro celkový rozvoj. A pak otázka syna nebo dceru, „co je to diferenciální rovnice?“ Nechceme vám dát do slepé uličky. No, pokud jste vědec nebo inženýr, pak víte, že význam tohoto tématu v každém vědě. Ale co je nejdůležitější, že se na otázku „jak řešit diferenciální rovnici prvního řádu?“ budete vždy schopni dát odpověď. Souhlasíte s tím, že je vždy příjemné, když si uvědomíte, že to, co lidé jsou dokonce bojí, jak to zjistit.
Hlavními problémy ve studii
Hlavním problémem v chápání tohoto tématu je špatný zvyk integrace a diferenciace funkcí. Jste-li nepříjemné PŘEBÍRÁTE deriváty a integrály, je pravděpodobně větší cenu učit se, učit se různé metody integrace a diferenciace, a teprve poté přistoupit ke studiu materiálu, který byl popsán v článku.
Někteří lidé jsou překvapeni, že dx mohou být přeneseny, jak bylo dříve (ve škole) tvrdil, že frakce dy / dx je nedělitelná. Pak je třeba číst literaturu o derivátu a pochopit, že je to postoj nekonečně malých množstvích, které lze manipulovat při řešení rovnic.
Mnozí lidé nemají okamžitě uvědomit, že řešení diferenciálních rovnic prvního řádu - to je často funkce nebo neberuschiysya integrál, a to klam jim dává spoustu problémů.
Co jiného mohou být studovány, aby lépe pochopit?
To je nejlepší začít další ponoření do světa diferenciálního počtu specializovaných učebnic, například, v matematické analýzy pro studenty non-matematických specialit. Pak můžete přesunout na další odborné literatuře.
Říká se, že kromě diferenciálu, stále existují integrální rovnice, takže budete mít vždy něco usilovat a co studovat.
závěr
Věříme, že po přečtení tohoto článku budete mít představu o tom, co diferenciální rovnice a jak je správně řešit.
V každém případě, matematika jakýmkoli způsobem užitečné pro nás v životě. Rozvíjí logiku a pozornost, bez nichž každý člověk, jako bez rukou.
Similar articles
Trending Now