Maclaurin a rozklad některých funkcí

Studovat vyšší matematiky by si měli uvědomit, že součet mocninné řady v intervalu konvergence řady z nás, je stálý a neomezený počet krát diferencované funkce. Vyvstává otázka: je možné tvrdit, že vzhledem libovolnou funkci f (x) - je součet mocninné řady? To znamená, že za jakých podmínek F-ce f (x) může být reprezentován napájecí sérii? Důležitost tohoto problému je, že je možné nahradit přibližně £ Theological f (x) je součet prvních několika podmínek napájení série, to je polynom. Taková náhrada funkce je poměrně jednoduchý výraz - polynom - je pohodlné a při řešení určitých problémů v matematické analýze, a to při řešení integrálů při výpočtu diferenciálních rovnic , atd ...

Je dokázáno, že z nějakého f-ii f (x), vyznačující se tím, že deriváty (n + 1) tý, aby se může vypočítat, včetně nejnovější v blízkosti (a - R; x ₀ + R) bodu x = a reálná vzorec je:

Tento vzorec je pojmenována po slavném vědec Brooke Taylor. Množství, které je odvozeno od předchozího, je nazýván Maclaurin série:

Pravidlo, které umožňuje vyrábět expanzi v sérii Maclaurinových:

1. Určovat deriváty první, druhý, třetí, ... pořadí.
2. Vypočítat jsou deriváty u x = 0.
3. Záznam Maclaurin série pro tuto funkci, a potom se určí interval konvergence.
4. Určete interval (R, R), kde zbývající část vzorce Maclaurin

R _n (x) -> 0 pro n -> nekonečno. Jestliže existuje, že funkce f (x) se musí rovnat součtu Maclaurinových řad.

Vezměme si teď na Maclaurin série pro jednotlivé funkce.

1. To znamená, že nejprve je třeba f (x) = e ^x. Samozřejmě, že jejich vlastnosti, takže f-Ia odvodil řadu příkazů, a F ^{(k) (x)} = e ^x, kde k je rovno všech přirozených čísel. Náhradní x = 0. Získáme f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... k výše uvedenému množství e ^x základě To bude vypadat následovně:

2. Maclaurinův řady pro funkce f (x) = sin x. Okamžitě určit, že F-ce pro všechny neznámé deriváty budou mít, kromě f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' ‚(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), kde k je rovno jakékoli kladné číslo. To znamená, že jednoduché výpočty, můžeme konstatovat, že řada pro f (x) = sin x bude vypadat takto:

3. Nyní uvažujme IJU F-F (x) = cos x. Není známo, pro všechny deriváty libovolném pořadí, a ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Opět který učinil některé výpočty, zjistíme, že řada pro f (x) = cos x bude vypadat následovně:

Takže, máme uvedeny nejdůležitější vlastnosti, které lze rozšířit v sérii Maclaurinových, ale doplňují Taylorovy řady pro některé funkce. Nyní je budeme seznamu stejně. Je třeba také poznamenat, že Taylorova řada a řada Maclaurinův jsou důležitou součástí dílny řady rozhodnutí ve vyšších matematiky. Takže, Taylorovy řady.

1. První je řada f-ii f (x) = ln (1 + x). Stejně jako v předchozích příkladech, za což f (x) = ln (1 + x) mohou být složené číslo, pomocí obecný tvar Maclaurinových řad. ale pro tuto funkci Maclaurinův lze získat mnohem jednodušší. Integrace geometrickou řadu, získáme číslo pro f (x) = ln (1 + x) vzorku:

2. A druhá, která bude v konečném v tomto článku, bude řada pro f (x) = arctg x. Pro x, které patří do intervalu [1; 1] platí rozklad:

To je všechno. V tomto článku jsem se rozhlédl po nejpoužívanější Taylorovy řady a Maclaurin série na vyšší matematiky, zejména v ekonomických a technických vysokých škol.