Rozdíly - Co je to? Jak najít diferenciál funkce?

Spolu s deriváty jejich funkce diferenciály - it některé základní pojmy diferenciálního počtu, hlavní části matematické analýzy. Jako neoddělitelně spojeny, obě z nich několik staletí široce používán při řešení téměř všech problémů, které vznikly v průběhu vědecké a technické činnosti.

Vznik konceptu diferenciálu

Poprvé jasně najevo, že takové diferenciál, jednoho ze zakladatelů (spolu s Isaakom Nyutonom) diferenciální Slavný německý matematik Gotfrid Vilgelm Leybnits. Před tím matematici 17. století. používá velmi nejasný a vágní představu o některých nekonečně „nečleněného“ jakékoliv známé funkce, což představuje velmi malou konstantní hodnotu, ale není rovna nule, pod kterou se hodnoty funkce nemůže být jednoduše. Z toho důvodu, že pouze jeden krok k zavedení pojmů nekonečně malých přírůstcích argumenty funkce a jejich příslušných krocích funkcí, které mohou být vyjádřeny v podmínkách derivátů druhé. A tento krok byl učiněn téměř současně výše dvou velkých vědců.

na potřebu řešit naléhavé problémy praktické mechaniky se kterými se setkávají vědy založené na rychle se rozvíjející odvětví a technologií, Newton a Leibniz vytvořil společné způsoby zjištění funkce rychlosti změny (zejména s ohledem na mechanickou rychlosti tělesa známého trajektorie), který vedl k zavedení těchto pojmů, jako derivace funkce a diferenciálu, a také zjistili, že algoritmus inverzní řešení problémů jako je samo o sobě známé (proměnné otáčky) prochází najít cestu, která vedla k pojmu integrálu Ala.

V pracích Leibniz a Newton nápadu Zpočátku to vypadalo, že diferenciály - je přímo úměrné zvýšení základních argumentů Ah krocích po Au funkce, které lze úspěšně použít pro výpočet hodnoty z druhé. Jinými slovy, bylo zjištěno, že funkce přírůstek může být v libovolném bodě (v rámci svého oboru definice) se projevuje v jeho derivát jak Au = y ‚(x) Ah + αΔh kde α Ah - zbytek, se sklonem k nule Ah → 0, mnohem rychleji než skutečný Ah.

Podle zakladatelů matematické analýzy, diferenciály - to je přesně to první termín v krocích po jakýchkoli funkcí. I bez nutnosti jasně definované hranice koncepce sekvence se rozumí intuitivně, že diferenční hodnota derivátu má tendenci fungovat při Ah → 0 - Au / Ah → y ‚(x).

Na rozdíl od Newton, který byl v první řadě fyzik a matematický aparát považováno jako pomocný nástroj pro studium fyzikálních problémů, Leibniz věnovat více pozornosti k této výbavy, včetně systému vizuálních a srozumitelnými symboly matematických hodnot. To on navrhl standardní notaci diferenciály funkce dy = y ‚(x) dx, dx, a derivace funkce argumentu jejich vztah y‘ (x) = dy / dx.

Moderní definice

Jaký je rozdíl, pokud jde o moderní matematiky? To úzce souvisí s konceptem proměnným přírůstek. Pokud je proměnná y má první hodnotu y y = _1, pak y = y _2, rozdíl y ₂ ─ y _1, se nazývá hodnota přírůstku y. Přírůstek může být pozitivní. negativní a nula. Slovo „přírůstek“ je označen ó, Au záznamu (číst ‚delta y‘) označuje hodnotu inkrementu y. tak Au = y ₂ ─ y _1.

V případě, že hodnota Au libovolná funkce y = f (x) mohou být reprezentovány jako Au = A Ah + a, kde A je ne závislost na Ah, t. E. = konst pro dané x, a termín α při Ah → 0 tendenci to je ještě rychlejší, než je skutečná Ah, pak první ( „master“) termín proporcionální Ah, a je pro y = f (x) diferenciálu, označený dy nebo df (x) (číst "y de", "de eff od X"). Proto diferenciály - „hlavní“ lineární vzhledem ke složkám přírůstcích AH funkcí.

mechanická vysvětlení

Nechť s = f (t) - vzdálenost v přímém směru pohybující se materiál bod z počáteční polohy (t - doba jízdy). Přírůstek? S - je cesta bod v časovém intervalu At, a diferenciální ds = f ‚(t) At - tato cesta, který bod se bude konat po stejnou dobu At, pokud to udrželo rychlost f‘ (t), dosáhne v čase t , Když nekonečně At ds imaginární dráha se liší od skutečné? S nekonečně má vyšší pořadí s ohledem na At. V případě, že rychlost v čase t se nerovná nule, DS orientační hodnota dává malý zaujatost bod.

geometrická interpretace

Nechte linky L je graf y = f (x). Pak Δ x = MQ, Au = QM ‚(viz obr. Níže). Tangent MN přestávky Au řez do dvou částí, QN a NM‘. První a Ah je úměrná QN = MQ ∙ tg (úhel QMN) = Ah f ‚(x), t. E QN dy rozdíl.

Druhá část rozdílu Au NM'daet ─ dy, kdy Ah délka → 0 NM ‚klesá ještě rychleji, než přírůstek argumentu, to znamená, že má malou rozlohou pořadí vyšší než Ah. V tomto případě, je-li f ‚(x)? 0 (neparalelní tečných ox) segmentů QM'i QN ekvivalentní; jinými slovy, NM ‚rychle snižuje (pořadí nevelikosti jeho vyšší), než je celkový přírůstek Au = QM‘. To je patrné na obrázku (blížící se segmentem M'k M NM'sostavlyaet všechny menší procento QM ‚segmentu).

Takže, graficky diferenciální libovolná funkce je stejná jako přírůstek pořadnici tečny.

Derivace a diferenciál

Faktor v prvním funkčním funkce výraz přírůstek se rovná hodnotě jeho derivát f ‚(x). To znamená, že následující vztah - dy = f '(x) Ah nebo df (x) = f' (x) Ah.

Je známo, že přírůstek nezávislého argumentu rovná jeho diferenciální Ah = dx. V souladu s tím lze psát: f ‚(x) dx = dy.

Nalezení (někdy říká, že je „rozhodnutí“), diferenciály se provádí za stejných podmínek jako pro deriváty. Jejich seznam je uveden níže.

Co je univerzálnější: přírůstek argumentu nebo jeho diferenciálu

Zde je nutné provést určité vyjasnění. Zastoupení hodnota f ‚(x), rozdíl Ah možné, když s ohledem na x jako argument. Ale funkce může být složité, v němž x může být funkce argumentu t. Pak reprezentace diferenciální exprese f ‚(x) Ah, jako pravidlo, že je nemožné; s výjimkou v případě lineární závislosti x = v + b.

Co se týče obecného vzorce f ‚(x) dx = dy, pak v případě nezávislého argumentu x (pak dx = Ah) v případě parametrické závislosti x t, to je rozdíl.

Například, výraz 2 x Ah je pro y = x ^2, diferenciální, když x je argumentem. Nyní x = t ² a budeme předpokládat, t argumentu. Potom y = x ² = t ^4.

Toto je následováno (t + At), ² = t ² + 2tΔt + At ^2. Proto Ah = 2tΔt + At ^2. Z tohoto důvodu: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

Tento výraz není úměrná At, a proto je nyní 2xΔh není diferenciální. To může být zjištěno z rovnice y = x ² = t ^4. To je stejné dy = 4t ³ At.

Vezmeme-li expresní 2xdx, to je rozdíl y = x ² pro všechny argumentu t. Ve skutečnosti, když x = t ² získat dx = 2tΔt.

Tak 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ delta t, t. E. Expresní diferenciály zaznamenané dvěma různými proměnnými shodují.

Výměna přírůstcích diferenciály

Je-li f ‚(x) ≠ 0, pak Au a dy ekvivalent (při Ah → 0); Je-li f ‚(x) = 0 (smyslu a dy = 0), nejsou ekvivalentní.

Například, pokud y = x ^2, pak Au = (x + Ah) ² ─ x ² = 2xΔh + Ah ² a dy = 2xΔh. Je-li x = 3, pak musíme Au = 6Δh + AH ² a dy = 6Δh, které jsou ekvivalentní vzhledem Ah ² → 0, když x = 0 hodnota Au = Ah ² a dy = 0, nejsou ekvivalentní.

Tato skutečnost, spolu s jednoduchou strukturou diferenciálu (m. E. Linearita vzhledem k Ah), je často používán v přibližný výpočet, za předpokladu, že AU ≈ dy pro malá Ah. Najít rozdíl funkce je obvykle jednodušší, než vypočítat přesnou hodnotu přírůstku.

Například, máme kovový krychle s hranou x = 10,00 cm. Při zahřívání okraje prodloužené na Ah = 0,001 cm. Jak zvýšený objem krychle V? Máme V = x ^2, takže dV = 3x ² = Ah 3 ∙ ∙ 0 10 ^2/01 = 3 (cm ^3). Zvýšená Av ekvivalentní rozdíl dV, takže Av = 3 ^cm3. Full výpočet by dával ³ Av = 10,01 ─ March ¹⁰ = 3.003001. Ale je výsledkem všech číslic kromě prvního nespolehlivé; proto, že je stále nutné zaokrouhlit až 3 ^cm3.

Je zřejmé, že tento přístup je užitečné pouze v případě, že je možné odhadnout hodnotu dodávanou s chybou.

Diferenciální funkce: příklady

Zkusme najít diferenciál funkce y = x ³ najít derivát. Dejme argumentu přírůstek AU a definovat.

Au = (Ah + x) ³ ─ x ³ = 3 x ² + H (Ah 3xΔh ² + ^3).

Zde je koeficient A = 3x ² nezávisí na Ah, tak, že první člen je proporcionální Ah, druhý člen 3xΔh Ah ² + ³ Při Ah → 0 klesá rychleji než přírůstek argumentu. V důsledku toho, člen 3x ² Ah je diferenciál y = x ^3:

dy = 3x ² Ah = 3x ² dx nebo d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Kde d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Nyní najít funkce y = 1 / x u derivátu. Pak d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Proto dy = ─ Ah / x ^2.

Diferenciály základní algebraické funkce jsou uvedeny níže.

Přibližné výpočty pomocí diferenční

Pro vyhodnocení funkce f (x), a jeho derivát f ‚(x) v x = a je často obtížné, ale totéž v okolí x = a není snadné. Pak přijde na pomoc přibližné vyjádření

f (a + Ah) ≈ f ‚(a) Ah + f (a).

To dává přibližnou hodnotu funkce v malých krocích prostřednictvím své diferenciální Ah f ‚(a) Ah.

Proto tento vzorec dává přibližnou výraz pro funkci v koncovém bodě části délky Ah jako součtu jejich hodnoty v počáteční bod úseku (x = a) a rozdílu ve stejné výchozí bod. Přesnost metody pro stanovení hodnoty funkce ilustruje výkres.

Avšak známé a přesný výraz pro hodnoty funkce x = a + Ah podle vzorce konečných krocích (nebo, alternativně, Lagrangeova vzorec)

f (a + Ah) ≈ f ‚(ξ) Ah + f (a),

kde bod x = a + ξ je v intervalu od x = a do x = a + Ah, ačkoli jeho přesná poloha není známa. Přesný vzorec umožňuje vyhodnotit chybu přibližné vzorce. Když dáme do Lagrangeova vzorce £ = Ah / 2, i když přestane být přesné, ale dává, zpravidla mnohem lepší přístup, než původního výrazu, pokud jde o diferenciálu.

Hodnotící vzorce chyba použitím rozdílu

Měřicí přístroje , v zásadě, nepřesné, a přivést na naměřených dat odpovídajících chybě. Jsou charakteristické tím, že omezuje absolutní chyby, nebo, v krátkosti, mezní chyba - pozitivní, zřetelně nad chybu v absolutní hodnotě (nebo nanejvýš rovna to). Omezení relativní chyba se nazývá Kvocient získaný dělením absolutní hodnoty naměřené hodnoty.

Ať přesný vzorec y = f (x) funkce používá k vychislyaeniya y, ale hodnota x je výsledek měření, a proto přináší chybu y. Poté, najít omezující absolutní chyba │Δu│funktsii y podle vzorce

│Δu│≈│dy│ = │ f ‚(x) ││Δh│,

kde │Δh│yavlyaetsya okrajová chyba argumentem. │Δu│ množství musí být zaobleny směrem nahoru, jak je Samotný nepřesné výpočty je nahrazení přírůstku o výpočtu diferenciálu.