Deriváty čísel: metody výpočtu a příklady

Pravděpodobně je koncept derivátu známý každému z nás ze školy. Obvykle mají studenti potíže pochopit tuto věc, nepochybně velmi důležitou věc. Aktivně se používá v různých oblastech lidských životů a mnoho inženýrských vývojů je založeno na matematických výpočtech získaných pomocí derivátu. Ale předtím, než půjdeme analyzovat, jaké jsou deriváty čísel, jak je vypočítat a kde budou užitečné pro nás, trochu se ponoříme do historie.

Historie

Koncept derivátu, který je základem matematické analýzy, byl otevřený (je dokonce lepší říkat "vymyslel", protože v přírodě jako takový neexistoval) Isaac Newton, kterého všichni víme tím, že objevil zákon univerzální gravitace. To byl ten, kdo nejprve použil tento koncept ve fyzice, aby spojil povahu rychlosti a zrychlení těles. A mnozí vědci stále chválí Newtona pro tento nádherný vynález, protože ve skutečnosti vynalezl základ diferenciálního a integrálního počtu, ve skutečnosti založení celého pole matematiky nazývaného "matematická analýza". Ať už tehdy Nobelovu cenu, Newton by s největší pravděpodobností dostal několikrát.

Ne bez ostatních velkých myslí. Vedle Newtonu se na vývoji derivátu a integrálu podíleli takoví vynikající géniové matematiky jako Leonard Euler, Louis Lagrange a Gottfried Leibniz. Je to díky nim, že jsme dostali teorii diferenciálního počtu v podobě, ve které existuje dodnes. Mimochodem, tento Leibniz objevil geometrický význam derivátu, který se ukázal být ničím jiným než tangens úhlu sklonu tečny k grafu funkce.

Jaké jsou odvozená čísla? Opakujeme trochu to, co prošlo ve škole.

Co je derivát?

Tento pojem můžete definovat několika různými způsoby. Nejjednodušší vysvětlení: derivát je rychlost změny funkce. Představujeme graf některé funkce y z x. Pokud to není přímka, pak má v grafu nějaké zatáčky, perioda zvyšování a klesání. Pokud budeme mít nekonečně malý interval tohoto grafu, bude to přímočarý segment. Takže poměr velikosti tohoto nekonečně malého segmentu podél souřadnice y k velikosti souřadnice x bude odvozen danou funkcí v daném bodě. Pokud vezmeme v úvahu funkci jako celek a nikoliv v určitém bodě, získáme funkci derivátu, tedy jistou závislost hry na x.

Kromě fyzického významu derivátu jako rychlosti změny funkce existuje také geometrický význam. O něm už mluvíme.

Geometrický význam

Deriváty čísel samy o sobě představují určitý počet, který bez řádného pochopení nemá žádný smysl. Ukazuje se, že derivát nejen ukazuje rychlost růstu nebo poklesu funkce, ale také tangensu sklonu tečny na graf funkce v daném bodě. Není to úplně jasná definice. Podívejme se na to podrobněji. Předpokládejme, že máme graf funkce (pro zájem, pojďme křivku). Má nekonečný počet bodů, ale existují oblasti, kde má pouze jeden bod maximum nebo minimum. Prostřednictvím tohoto bodu můžete nakreslit čarou, která je kolmá na graf funkce v daném okamžiku. Taková řada se nazývá tečna. Předpokládejme, že jsme ji spustili k průsečíku s osou OX. Takže úhel mezi tečkou a osou OX bude určen derivátem. Nebo spíše, dotyčnice tohoto úhlu se jí rovnají.

Promluvme si o konkrétních případech a analyzujeme odvozená čísla.

Zvláštní případy

Jak jsme již uvedli, deriváty čísel jsou hodnoty derivátu v určitém bodě. Proveďte například funkci y = x ² . Derivát x je číslo a obecně je funkce rovnající se 2 x. Pokud potřebujeme vypočítat derivát, řekněme, v bodě x ₀ = 1, dostaneme y '(1) = 2 * 1 = 2. Je to velmi jednoduché. Zajímavý případ je derivát složitého čísla. Nebudeme jít do podrobného vysvětlení toho, co je složité číslo. Řekněme, že je to číslo, které obsahuje takzvanou imaginární jednotku - číslo, jehož čtverec je -1. Výpočet takového derivátu je možný, pouze pokud jsou splněny následující podmínky:

1) Musí existovat dílčí deriváty prvního řádu ze skutečných a imaginárních částí ve hře av x.

2) jsou splněny podmínky Cauchy-Riemanna spojené s rovností dílčích derivátů popsaných v prvním odstavci.

Další zajímavý případ, i když ne tak složitý jako předchozí, je derivát negativního čísla. Ve skutečnosti může být jakékoliv záporné číslo reprezentováno jako kladné, vynásobené hodnotou -1. Ale derivát konstanty a funkce se rovná konstantě vynásobené derivátem funkce.

Bude zajímavé dozvědět se o roli derivátu v každodenním životě a to je to, o čem nyní diskutujeme.

Aplikace

Pravděpodobně každý z nás, alespoň jednou v životě, se zachycuje tím, že si myslí, že matematika je pro něj těžko užitečná. A tak složitá věc jako derivát pravděpodobně nemá žádnou žádost. Ve skutečnosti je matematika základní vědou a všechny její ovoce jsou rozvíjeny hlavně fyzikou, chémií, astronomií a dokonce i ekonomikou. Tento derivát vedl k matematické analýze, která nám umožnila vyvodit závěry z grafů funkcí a naučil jsme se vykládat zákony přírody a díky tomu jsme je přeměňovali ve prospěch.

Závěr

Samozřejmě, že každý nemusí potřebovat derivát v reálném životě. Ale matematika rozvíjí logiku, která bude jistě potřeba. Není to nic, co se matematika nazývá královnou věd: tvoří základ pro pochopení dalších oblastí znalostí.